题目内容
已知α，β∈R，写出用cosα，cosβ，sinα，sinβ表示cos（α-β）的关系等式，并证明这个关系等式．
分析：结论：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．证明：如图所示，
=（cosα，sinα），
=（cosβ，sinβ），利用两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式可得
cos＜
，
＞=cosαcosβ+sinαsinβ，再由 α-β=＜
，
＞+2kπ，或α-β=-＜
，
＞+2kπ，可证得结论成立．
| OA |
| OB |
cos＜
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
解答：
解：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．-----（2分）
证明：如图，在平面直角坐标系xoy内作单位圆O，以Ox为始边作角α、β，它们的终边与单位圆的交点分别为A，B．
则
=（cosα，sinα），
=（cosβ，sinβ），
由向量数量积的定义，有
•
=|
|•|
|cos＜
，
＞=cos＜
，
＞，
由向量数量积的坐标表示，有
•
=cosαcosβ+sinαsinβ．
于是cos＜
，
＞=cosαcosβ+sinαsinβ． ①------（7分）
对于任意的α、β，总可选取适当的整数k，使得 α-β=＜
，
＞+2kπ，或α-β=-＜
，
＞+2kπ，
故对于任意的α、β，总有 cos（α-β）=cos＜
，
＞成立，带入①式得，
对 α、β∈R，总有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ 成立．------（12分）
解：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．-----（2分）证明：如图，在平面直角坐标系xoy内作单位圆O，以Ox为始边作角α、β，它们的终边与单位圆的交点分别为A，B．
则
| OA |
| OB |
由向量数量积的定义，有
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
由向量数量积的坐标表示，有
| OA |
| OB |
于是cos＜
| OA |
| OB |
对于任意的α、β，总可选取适当的整数k，使得 α-β=＜
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
故对于任意的α、β，总有 cos（α-β）=cos＜
| OA |
| OB |
对 α、β∈R，总有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ 成立．------（12分）
点评：本题主要考查两角差的余弦公式及其证明方法，两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式的应用，终边相同的角，属于中档题．
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