Question

如图，在三棱锥中，，， ，，平面⊥平面.

   （Ⅰ）求证：；

   （Ⅱ）求二面角的大小；

   （Ⅲ）若为线段中点，求点到平面的距离。   

Answer 1

解法一：（Ⅰ）∵平面⊥平面，为其交线，且

∴平面，又∵平面，∴            

（Ⅱ）取中点，连接，在平面内

作于点，连接

∵且

∴为等腰，且

由平面⊥平面可知，平面

又，由三垂线定理得：

∴即为所求的二面角的平面角

∵在三角形中，，

∴，

又∵，

∴，

DE//BC， 故有，

∴在中，

∴则所求的二面角的大小为                       

（Ⅲ）连接，由（Ⅱ）知，在平面内作于

∵平面，平面

∴平面，

则到平面的距离等于点到平面的距离

由（Ⅱ）知且，又

∴平面

又∵平面

∴平面平面，其交线为

∴平面

则为点到平面的距离 

∵在中，

∴，

∴点到平面的距离为

故点到平面的距离为

解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一

（Ⅲ）连接，由（Ⅱ）知，在平面内作于

∵平面，平面

∴平面，则到平面的距离等于点到平面的距离

设点到平面的距离为

∵，而平面

由（Ⅰ）知，

∵

∴平面

∵平面，∴

∵，∴

∴

∵

∴

∴点到平面的距离为

故点到平面的距离为

解法三：取中点，中点，连接

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）∵分别为中点

∴且

由（Ⅰ）知平面，则两两垂直

以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系

由知

设平面的法向量为

∴，取，解得

又∵平面的法向量

∴

∴二面角的大小为

（Ⅲ）∵，∴

设所求距离为

则

∴点到平面的距离为。