Question

【题目】已知定义在上的奇函数，当时，.

（1）求；

（2）当时，求的解析式.

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由奇函数的定义得出的值；

（2）设，可得，可计算出的表达式，再利用奇函数的定义可得出，即可得出的表达式；

（3）分析函数在上的单调性，由奇函数的性质将不等式化为，利用函数的单调性得出，可得出，求出函数的最小值可得出实数的取值范围.

（1）函数定义在上的奇函数，；

（2）当时，，，

又函数是奇函数，，，

故当时，；

（3）由得，

当时，，，此时，函数为减函数，

则.

由于函数是奇函数，则该函数在上也为减函数，

当时，，又，函数在上是减函数，

又，，即恒成立，

即对任意恒成立，

令，则，，

故实数的取值范围为.