Question

12．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，O为坐标原点，A为右顶点，P为双曲线左支上一点，若$\frac{{{{|{P{F_2}}|}^2}}}{{|{P{F_1}}|-|{OA}|}}$存在最小值为12a，则双曲线一三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值是（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{2\sqrt{6}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{5}$

Answer 1

分析 设|PF₁|-|OA|=m，则$\frac{{{{|{P{F_2}}|}^2}}}{{|{P{F_1}}|-|{OA}|}}$=$\frac{（3a+m）^{2}}{m}$=$m+\frac{9{a}^{2}}{m}$+6a≥12a，当且仅当m=3a，取等号，|PF₁|=4a，可得5a≥c，$\frac{b}{a}$≤2$\sqrt{6}$，设双曲线一三象限的渐近线倾斜角为α，则0＜tanα≤2$\sqrt{6}$，cosα≥$\frac{1}{5}$，即可得出结论．

解答 解：设|PF₁|-|OA|=m，则$\frac{{{{|{P{F_2}}|}^2}}}{{|{P{F_1}}|-|{OA}|}}$=$\frac{（3a+m）^{2}}{m}$=$m+\frac{9{a}^{2}}{m}$+6a≥12a，
当且仅当m=3a，取等号，∴|PF₁|=4a，
∴4a≥c-a，∴5a≥c，
∴25a²≥a²+b²，∴$\frac{b}{a}$≤2$\sqrt{6}$，
设双曲线一三象限的渐近线倾斜角为α，则0＜tanα≤2$\sqrt{6}$，∴cosα≥$\frac{1}{5}$，
∴双曲线一三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值是$\frac{1}{5}$，
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．