Question

函数f（x）=x²-2x+2在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值记为g（t）．
（1）求g（t）的函数表达式；
（2）作g（t）的简图并写出g（t）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意可知，f（x）为二次函数，要求其在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值，主要是分三种情况（区间在对称轴的左边、右边、之间）讨论可得二次函数的最小值即得g（t）的函数表达式；
（2）画出分段函数的简图，由简图可知g（t）的最小值．

解答：解：（1）据题意可知函数为二次函数且开口向上，所以函数有最小值，即当x=-

b

2a

=

2

2

=1，f_min=1
分情况讨论函数在闭区间[t，t+1]（t∈R）：
①当闭区间[t，t+1]（t∈R）?（-∞，1）即t＜0时，得：二次函数在x=t+1时取到最小值，
∴g（t）=（t+1）²-2（t+1）+2=t²+1；
②当1∈[t，t+1]即0≤t≤1时，得x=1时，二次函数取到最小值∴g（t）=1；
③当闭区间[t，t+1]?（1，+∞）即t＞1时，得：x=t时，二次函数取到最小值∴g（t）=t²-2t+2．

综上

g(t)=t2+1    (t＜0) g(t)=1            (0≤t≤1) g(t)=t2-2t+2     (t＞1)

（2）由（1）可知g（t）为分段函数作出图象如下：

从图象上可知g（t）_min=1．

点评：本题考点是二次函数的图象，考查通过二次函数的图象求二次函数在闭区间上的最值，求解本题主要依据函数的单调性，要根据二次函数的图象判断出所研究区间的单调性，确定最值在那个位置取到，再求出最值，本题中所给的区间是一个不定的区间，故解题时要根据区间与对称轴的位置进行分类讨论，主要是分三种情况（区间在对称轴的左边、右边、之间），解题时注意总结分类讨论思想在求解本题中的作用．