Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+n，数列{b_n}满足b_n+1=2b_n-1（n∈N^*），且b₁=5．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}的前n项和为T_n，且cn=

1

an•log2(bn-1)

，证明：Tn＜

1

2

．

Answer 1

分析：（I）结合已知条件可得a₁=S₁=2．利用地推公式a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n，再由b_n+1=2b_n-1，
得b_n+1-1=2（b_n-1），由等比数列的定义可得{b_n-1}是以4为首项，2为公比的等比数列．从而可求b_n-1进一步可得b_n=2ⁿ⁺¹+1．
（Ⅱ）由cn=

1

an•log2(bn-1)

=

1

2nlog2(2n+1+1-1)

=

1

2nlog22n+1

=

1

2n(n+1)

，利用裂项求和可求先求T_n，进一步可证Tn＜

1

2

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n．
当n=1时，2n=2=a₁． 所以a_n=2n．（3分）
由b_n+1=2b_n-1，得b_n+1-1=2（b_n-1），又b₁-1=4≠0，
所以{b_n-1}是以4为首项，2为公比的等比数列．
所以b_n-1=（b₁-1）2^n-1=2ⁿ⁺¹．
所以b_n=2ⁿ⁺¹+1．（6分）
（Ⅱ）证明：cn=

1

an•log2(bn-1)

=

1

2nlog2(2n+1+1-1)

=

1

2nlog22n+1

=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)．（9分）
故Tn=

1

2

[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

]
=

1

2

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+ (

1

n

-

1

n+1

)]=

1

2

(1-

1

n+1

)（12分）
所以Tn＜

1

2

．（13分）

点评：（1）形如a_n=pa_n-1+q型的数列的通项公式的求解一般构造等比数列an+

q

p-1

=p(an-1+

q

p-1

)，进行求解，体现了构造特殊数列的方法在解题中的应用
（2）裂项求和的方法要注意裂项相消后剩余的项有几个，这也是此类问题中容易出现错误的地方