题目内容
【题目】已知函数
，
.
（Ⅰ）若函数
在
处的切线垂直于
轴，求函数的极值；
（Ⅱ）若函数有两个零点
，
，求实数
的取值范围，并证明：
.
【答案】（Ⅰ）
的极小值为0；（Ⅱ）
，证明见解析.
【解析】
（Ⅰ）求出
求出
，进而求出
的解，得出单调区间，即可求出结论；
（Ⅱ）
代入解析式得函数值为0，整理得
，转化为证明
，不妨设
，只需证
，根据函数单调性只需证
，构造函数
，
，利用单调性证明
恒成立，即可证明结论.
（Ⅰ）
，
，∴
，∴
，
令
，
，
，
∴的极小值为
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，有两个零点
，
，
必须有
且最小值
，
∴
，∴
，∴，
又∵当
时，
；
当
时，，∴，
此时
，
，
∴
，
，
∴，
要证：
，即证：
，
即证：
，即证：
，
即证：，
不妨设
，∴，∴，
即证：
，
即证：
，
令
，
，
当且仅当
时取“
”，
∴
在
上为增函数，
∴
，∴成立，
∴成立.
练习册系列答案
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运动达人 | 非运动达人 | 总计 | |
男 | 35 | 60 | |
女 | 26 | ||
总计 | 100 |
（1）（i）将
列联表补充完整；
（ii）据此列联表判断，能否有
的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”？
（2）从样本中的运动达人中抽取7人参加“幸运抽奖”活动，通过抽奖共产生2位幸运用户，求这2位幸运用户恰好男用户和女用户各一位的概率.
附：
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