Question

7．求下列函数的单调区间．
（1）y=cos4x；
（2）y=3sinx-cos²x．

Answer 1

分析 （1）根据余弦函数的图象即可得到结论，
（2）根据复合函数的单调性即可判断．

解答 解：（1）y=cos4x，
∴-π+2kπ≤4x≤2kπ，2kπ≤4x≤2kπ+π，k∈Z，
∴-$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$，$\frac{kπ}{2}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∴y=cos4x在[-$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{kπ}{2}$]上单调递增，在[$\frac{kπ}{2}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$]，k∈Z，上单调递减．
（2）y=3sinx-cos²x═3sinx-1+sin²x=（sinx+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{13}{4}$，
∵-1≤sinx≤1，
设t=sinx，
∴y=（t+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{13}{4}$在[-1，1]上单调递增，
∵t=sinx在[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]上单调递增，在[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z，上单调递减，
∴y=3sinx-cos²x在[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]上单调递增，在[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z上单调递减．

点评 本题考查正弦函数余弦函数的图象和性质，以及复合函数的单调性，属于基础题．