Question

16．如图：已知正方形ABCD的边长为2，且AE⊥平面CDE，AD与平面CDE所成角为30°．
（1）求证：AB∥平面CDE；
（2）求三棱锥D-ACE的体积．

Answer 1

分析 （1）通过AB∥CD，利用直线与平面平行的判定定理证明AB∥平面CDE．
（2）证明CD⊥平面ADE，CD⊥DE．通过体积转化V_D-ACE=V_A-CDE．求解即可．

解答 证明：（1）正方形ABCD中，AB∥CD，又AB?平面CDE，CD?平面CDE，
所以AB∥平面CDE．
（2）因为AE⊥平面CDE，AD与平面CDE所成角为30°∴∠ADE=30°∴AE=1
因为AE⊥平面CDE，且CD?平面CDE，所以AE⊥CD，
又正方形ABCD中，CD⊥AD，且AE∩AD=A，AE，AD?平面ADE，
所以CD⊥平面ADE，又DE?平面ADE，
所以CD⊥DE．
∵$CD=2，DE=\sqrt{3}$．
∴${V_{D-ACE}}={V_{A-CDE}}=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}2•\sqrt{3}•1=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．