Question

如图所示，我校计划在汉东中学操场北修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器．已知喷水器的喷水区域是半径为5m的圆．问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？

Answer 1

分析：先根据题意设花坛的长、宽分别为xm，ym，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界．依题意得：(

x

4

)2+(

y

2

)2=25，（x＞0，y＞0），问题转化为在x＞0，y＞0，

x2

4

+y2=100的条件下，求S=xy的最大值即可．

解答：解：设花坛的长、宽分别为xm，ym，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界．
依题意得：(

x

4

)2+(

y

2

)2=25，（x＞0，y＞0）
问题转化为在x＞0，y＞0，

x2

4

+y2=100的条件下，求S=xy的最大值．
∵S=xy=2•

x

2

•y≤(

x

2

)2+y2=100，
由

x

2

=y和

x2

4

+y2=100及x＞0，y＞0得：x=10

2

，y=5

2

∴S_max=100
答：花坛的长为10

2

m，宽为5

2

m，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，则符合要求．

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、基本不等式等，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．