Question

①在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以C为圆心，且与BD相切的圆内运动，设（α、β∈R），求α+β的取值范围；
②△ABC中，证明不等式．

Answer 1

【答案】分析：①建立直角坐标系，写出点的坐标，求出BD的方程，求出圆的方程；设出P的坐标，求出三个向量的坐标，将P的坐标用α，β表示，代入圆内方程求出范围．
②利用放缩法可得＜，＜，＜，进而证得＜2，进而根据柯西不等式，可求证出+3≥，综合后可得答案．
解答：解：以D为坐标原点，CD为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系则
D（0，0），A（0，1），B（-3，1），C（-1，0）
直线BD的方程为x+3y=0
C到BD的距离为
∴以点C为圆心，且与直线BD相切的圆方程为（x+1）²+y²=
设P（x，y），则=（x，y-1），=（0，-1），=（-3，0）
∴（x，y-1）=（-3β，-α）
∵
∴x=-3β，y=-α
∵P在圆内
∴（-3β+1）²+（1-α）²≤，
解得1＜α+β＜
②在△ABC中，a，b，c＞0
∴＜，＜，＜
∴＜++=2
又∵+3
=
=（a+b+c）（）
=[（b+c）+（c+a）+（a+b）]（）≥（1+1+1）²=
∴≥
综上所述
点评：①通过建立直角坐标系将问题代数化、考查直线与圆相切的条件、考查向量的坐标公式．
②本题考查的知识点是放缩法证明不等式和柯西不等式，难度比较大．