Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4AD=CD=2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图所示．
（1）求证：BC⊥平面ACD
（2）求BD与平面ABC所成角θ的正弦值．

Answer 1

分析：（1）法一：由题设条件及图形，取AC中点O，连接DO，可根据勾股定理证明AC⊥BC，由线面垂直的性质证明DO⊥BC，再有线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；
法二：观察题设条件发现，本题可以借助面面平行的性质定理证明线面垂直，只须证明AC⊥BC，易证；
（2）根据题设条件及图形，作DH⊥AC于H，连接HB，可证得∴∠DBH即为BD与平面ABC所成角θ，在三角形中求值即可．

解答：解：（1）法一：由于AC=BC=2

2

，从而AC²+BC²=AB²故AC⊥BC，
取AC中点O，连接DO，则DO⊥AC，
又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，DO?平面ACD，从而DO⊥平面ABC，
∴DO⊥BC，又DO∩AC=O，
∴BC⊥平面ACD
法二：由于AC=BC=2

2

，从而AC²+BC²=AB²故AC⊥BC，
∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC?平面ABC，从而得BC⊥平面ACD
（2）作DH⊥AC于H，连接HB，∵平面ADC⊥平面ABC，且DH?平面ACD，
∴DH⊥平面ABC，
∴∠DBH即为BD与平面ABC所成角θ
∴sinθ=sin∠DBH=

DH

DB

=

2

2 3

=

6

6

点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，本题在证明线面垂直时用了两种方法，从两种方法的证明过程看，在做题时根据题设条件及相应背景选择合适的方法对简化解题很有帮助，此种判断能力源于对此类题各种解法的了解，只有了解的全面才有能力鉴别出那种方法是简单的．求线面角时要注意做题的步骤：作角，证角，求角，不要忘记证明所做的角即是所求的角，这是一个易失分点．