题目内容
【题目】已知椭圆
的左焦点为
，经过点
的直线与椭圆相交于
，
两点，点
为线段
的中点，点
为坐标原点.当直线的斜率为
时，直线
的斜率为
.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）若点
为椭圆的左顶点，点
为椭圆的右顶点，过的动直线交该椭圆于，
两点，记
的面积为
，
的面积为
，求
的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）由点差法及椭圆的几何性质即可求出椭圆的标准方程（2）设直线
的方程为
，求出三角形面积得
，联立方程组，由根与系数的关系可得关于m的函数式，换元后由均值不等式求最值即可.
（1）设
，
，则点
，由条件知，
直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，
而
，两式作差得，
，
所以
，即
，
又左焦点为
，所以
，
所以椭圆
的标准方程为.
（2）设直线的方程为，记
，
过标为
，
，
则
，
，
所以.
联立方程，
，消去
，得
，
所以
，
，
，令
，则
，且
，当且仅当
时等号成立，
所以
，即
的最大值为.
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