Question

斜率为1的直线l经过抛物线y²=4x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．

Answer 1

分析：抛物线y²=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=-1，由题意可得直线AB的方程为y=x-1，联立方程

y=x-1 y2=4x

可得x²-6x+1=0，根据方程的根与系数的关系可得，x_A+x_B=6，x_A•x_B=1
（法一）：由抛物线的定义可知，AB=AF+BF=x_A+1+x_B+1，代入可求
（法二）：由弦长公式可得AB=

(1+k2)( xA-xB)2

=

1+k2

•

(xA+xB)2-4xAxB

代入可求

解答：解：抛物线y²=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=-1
∴直线AB的方程为y=x-1
联立方程

y=x-1 y2=4x

可得x²-6x+1=0
∴x_A+x_B=6，x_A•x_B=1
（法一）：由抛物线的定义可知，AB=AF+BF=x_A+1+x_B+1=x_A+x_B+2=8
（法二）：由弦长公式可得AB=

(1+k2)( xA-xB)2

=

1+k2

•

(xA+xB)2-4xAxB

=

2(62-4)

=8

点评：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，方程的根系数的关系的应用，其中法（一）主要体现了抛物线的定义的灵活应用．