Question

如图，已知四边形为梯形，， ，四边形为矩形，且平面平面，，点为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积．

Answer 1

【命题意图】本题考查线面位置关系的证明、多面体体积的计算，考查空间想象能力．中等题．

解：（Ⅰ）取中点，连．∵为对角线的中点，∴，且，∴四边形为平行四边形，即∥．又∵平面，平面，∴∥平面．…………………………………4分

 （Ⅱ）∵四边形为矩形，且平面平面，∴平面，∴；∵四边形为梯形，，且，∴．又在中，，且，∴，，∴．于是在中，由，，及余弦定理，得．∴，∴．∴平面，又∵平面，∴平面平面．……………………9分

（Ⅲ）作，垂足为，由平面平面得平面．易求得，所以三棱锥的体积．……13分