Question

已知数列{a_n}为等差数列，且a₁=1，a₅=5；设数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=2-S_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=a_n•b_n（n=1，2，3，…），T_n为数列{c_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由b_n=2-S_n，令n=1，则b₁=2-S₁，又S₁=b₁，所以b₁=1．由此能够求出数列{a_n}和{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）数列{a_n}为等差数列，公差d=1，可得a_n=n，从而cn=an•bn=n•

1

2n-1

，由此能够求出数列{c_n}的前n项和求T_n．

解答：解：（Ⅰ）由b_n=2-S_n，令n=1，
则b₁=2-S₁，
又S₁=b₁，所以b₁=1…（1分）
当n≥2时，由bn=2-Sn，可得bn-bn-1=-(Sn-

S

n-1

)=-bn…（3分）
即

bn

bn-1

=

1

2

，…（4分）
所以{bn}是以b1=1为首项，

1

2

为公比的等比数列，于是bn=

1

2n-1

．…（6分）
（Ⅱ）数列{a_n}为等差数列，公差d=1，得a_n=n…（8分）
从而cn=an•bn=n•

1

2n-1

，…（9分）
∴Tn=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

1

2

Tn=

1

2

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

∴

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1(1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n

=2-

2

2n

-

n

2n

=2-

n+2

2n

．…（11分）
从而Tn=4-

n+2

2n-1

．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和公式的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．