Question

设a₁，a₂，…，a_n都是正数，b₁，b₂，…，b_n是a₁，a₂，…，a_n的任一排列.求证:

（1）a₁b₁^-1+a₂b₂^-1+…+a_nb_n^-1≥n；

（2）a₁^p+q+a₂^p+q+…+a_n^p+q≥a₁^pb₁^q+a₂^pb₂^q+…+a_n^pb_n^q（p,q为正数）；

（3）H≤G≤A，其中H、G、A分别为a₁，a₂，…，a_n的调和平均、几何平均及算术平均.

Answer 1

思路分析：运用排序原理解题的核心问题是找出相应的两组数.

证明：不妨设a₁≥a₂≥…≥a_n＞0.

（1）由不等式的单调性a_n^-1≥a_n-1^-1≥…≥a₁^-1，由排序原理得

a₁b₁^-1+a₂b₂^-1+…+a_nb_n^-1≥a₁a₁^-1+a₂a₂^-1+…+a_na_n^-1≥n;

（2）由题设a₁^p≥a₂^p≥…≥a_n^p,a₁^q≥a₂^q≥…≥a_n^q.由排序原理得；

（3）令t_i=（i=1，2，…，n），则t_n=1.

从而正数序列t₁，t₂，…，t_n及，，…，对应两项大小次序正好相反，由排序原理得

n=t₁·+t₂·+…+t_n·≤t₁·+t₂·+…+t_n·，

即n≤，从而G≤A.

另一方面

n=t₁·+t₂·+…+t_n·≤t₁·+t₂·+…+·+t_n·，

即n≤)，从而G≥H.