Question

如图ABCD为正方形，PD⊥平面AC，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）证明：PB⊥平面EFD．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接AC，设AC∩BD=0，连接EO，底面是正方形，可得OE为△PAC的中位线，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；
（2）PD⊥平面AC，BC?平面AC，所以BC⊥PD，而BC⊥CD，PD∩CD=D，可得BC⊥平面PDC在△PDC为等腰三角形中证明DE⊥平面PBC，从而求证．
解答：解：（1）连接AC，设AC∩BD=0，连接EO，
∵底面是正方形，
∴O为AC的中点
∴OE为△PAC的中位线
∴PA∥OE，而OE?平面EDB，PA∉平面EBD，
∴PA∥平面EDB．
（2）∵PD⊥平面AC，BC?平面AC，
∴BC⊥PD，而BC⊥CD，PD∩CD=D．
∴BC⊥平面PDC．
∵DE?平面PDC，
∴BC⊥DE．①
又∵PD⊥平面AC，DC?平面AC，
∴PD⊥DC，而PD=DC，
∴△PDC为等腰三角形．∴DE⊥PC．②
由①、②可知DE⊥平面PBC，
∴DE⊥PB．又EF⊥PB，
∴PB⊥平面DEF．
点评：此题考查直线与平面平行的判断及直线与平面垂直的判断，此类问题一般先证明两个面平行，再证直线和面平行，这种做题思想要记住，此类立体几何题是每年高考必考的一道大题，同学们要课下要多练习．