Question

设函数f（x）=|log_ax|（a＞1）的定义域为[m，n]（m＜n），值域为[0，1]．若n-m的最小值为

1

3

，则实数a的值为

3

2

．

Answer 1

分析：在坐标平面内先画出函数f（x）=log_ax的图象，然后根据函数图象的对折变换法则，画出函数y=|log_ax|的图象，结合函数图象及区间[m，n]的长度定义，结合[m，n]的长度最小值为

1

3

分类讨论后，可得答案．

解答：解：在坐标平面内先画出函数f（x）=log_ax（a＞1）的图象，再将其图象位于x轴下方的部分“翻折”到x轴的上方，
与f（x）本身不在x轴下方的部分共同组成函数f（x）=|log_ax|的图象，
∵f（1）=0，f（a）=f（

1

a

）=1，
结合图形可知，要使函数f（x）的值域是[0，1]，
其定义域可能是[

1

a

，1]、[1，a]、[

1

a

，a]，
且1-

1

a

=

a-1

a

＜a-1，
因此结合题意知1-

1

a

=

1

3

a=

3

2

故答案为：

3

2

点评：熟练掌握分类讨论的思想方法和对数函数的单调性是解题的关键