Question

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，底面是边长为1的正方形，E、F分别是棱B₁B、DA的中点．
（Ⅰ）求二面角D₁-AE-C的大小；
（Ⅱ）求证：直线BF∥平面AD₁E．

Answer 1

分析：（I）由题意建立如图的空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用两平面的法向量的夹角与两半平面夹角之间的关系求出二面角的大小；
（II）因为E，F分别是棱BB₁，AD中点，利用条件得到四边形BED₁F为平行四边形，进而得到BG∥平面AD₁E，GF∥平面AD₁E，再利用线面平行的判定定理证出所求．

解答：解：（Ⅰ）以D为坐标原点，DA、DC、DD₁分别为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系如图．
则相应点的坐标分别为D₁（0，0，2），A（1，0，0），C（0，1，0），E（1，1，1），
∴

ED1

=(0，0，2)-(1，1，1)=(-1，-1，1)

AE

=(1，1，1)-(1，0，0)=(0，1，1)，

AC

=(0，1，0)-(1，0，0)=(-1，1，0)
设平面AED₁、平面AEC的法向量分别为

m

=(a，b，1)，

n

=(c，d，1)，
由

ED1 • m =0 AE • m =0

?

-a-b+1=0 b+1=0

?

a=2  b=-1

，
由

AC • n =0 AE • n =0

?

-c+d=0 d+1=0

?

c=-1 d=-1

，
∴

m

=(2，-1，1)，

n

=(-1，-1，1)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

-2+1+1

6 × 3

=0
∴二面角D₁-AE-C的大小为90°．

（Ⅱ）证明：取DD₁的中点G，连接GB，GF
∵E，F分别是棱BB₁，AD中点
∴GF∥AD₁，BE∥D₁G且BE=D₁G，
∴四边形BED₁F为平行四边形，∴D₁E∥BF
又D₁E，D₁A?平面AD₁E，BG，GF?平面AD₁E
∴BG∥平面AD₁E，GF∥平面AD₁E
∵GF，GB⊆平面BGF，∴平面BGF∥平面AD₁E
∵BF⊆平面AD₁E，∴直线BF∥平面AD₁E

点评：此题重点考查了建立空间直角坐标系，利用平面的法向量的夹角与二面角的大小之间的关系，求解出二面角的大小，还考查了利用线线平行证明线面平行和面面平行，进而利用面面平行的性质定理得线面平行．