Question

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB∥CD，AB=AD=1，D₁D=CD=2，AB⊥AD．
（I）求证：BC⊥面D₁DB；
（II）求D₁B与平面D₁DCC₁所成角的大小；
（III）在BB₁上是否存在一点F，使F到平面D₁BC的距离为

3

3

，若存在，则指出该点的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）要证BC⊥面D₁DB，只需证明直线BC垂直面D₁DB内的两条相交直线D₁D、DB即可；
（II）取DC中点E，连接BE，D₁E．说明∠BD₁E为所求角，然后求D₁B与平面D₁DCC₁所成角的大小；
（III）在BB₁上是存在一点F，使F到平面D₁BC的距离为

3

3

，设BF=x，利用VF-D1BC=VC-D1BF求出x的值，即可．

解答：解：（ I）证明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为直四棱柱，
∴D₁D⊥平面ABCD，
∴BC⊥D₁D．
∵AB∥CD，AB⊥AD．
∴四边形ABCD为直角梯形，
又∵AB=AD=1，CD=2，
可知BC⊥DB．
∵D₁D∩DB=D，
∴BC⊥平面D₁DB．（4分）
（II）取DC中点E，连接BE，D₁E．
∵DB=BC，
∴BE⊥CD．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为直四棱柱，
∴ABCD⊥D₁DCC₁．
∴BE⊥D₁DCC₁．
∴D₁E为D₁B在平面D₁DCC₁上的射影，
∴∠BD₁E为所求角．
在Rt△D₁BE中，BE=1，D1E=

5

．tan∠BD1E=

BE

D1E

=

5

5

．
∴所求角为arctan

5

5

．（9分）
（Ⅲ）假设B₁B存在点F，设BF=x，
∵VF-D1BC=VC-D1BF，BC⊥平面D₁BF，
∴

1

3

S△D1BC•

3

3

=

1

3

S△D 1BF•BC．
∵在△D1BC中，BC⊥D1B，D1B=

6

，BC=

2

，
∴S△D1BC=

1

2

D1B•BC=

1

2

×

6

×

2

=

3

．
又S△D1BF=

1

2

BF•D1B1=

1

2

×x×

2

=

2

2

x，
∴

1

3

3

•

3

3

=

1

3

•

2

2

x•

2

?x=1．
即存在点F为B₁B的中点．（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角等知识，考查学生发现问题解决问题的能力，逻辑思维能力，是中档题．