Question

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=1，CD=CC₁=2，E为棱AA₁的中点，F为棱BB₁上的动点．
（Ⅰ）试确定点F的位置，使得D₁E⊥DF；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求CF与平面EFD₁所成角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）F为棱BB₁上的中点，通过三垂线定理即可证明D₁E⊥DF；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，通过点C到平面EFD₁的距离等于点D到平面EFD₁的距离的转化，然后求CF与平面EFD₁所成角的大小．

解答：解：（Ⅰ）因为E为棱AA₁的中点，当F为棱BB₁上的中点，
因为直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为直角梯形，
∠BAD=∠ADC=90°，所以，点F在平面A₁AD内的射影为点E，
直线DE?平面A₁AD，
而D₁E⊥DE，
由三垂线定理可知，DF⊥D₁E，
∴D₁E⊥DF；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，F为棱BB₁上的中点，
∴EF∥AB，AB∥CD，
∴CD∥EF，CD?平面EFD₁，EF?平面EFD₁
∴CD∥平面EFD₁，
∴点C到平面EFD₁的距离等于点D到平面EFD₁的距离，
∵AE=1，AD=1，DE=

2

，
即点C到平面EFD₁的距离为

2

．
CF=

FB2+BC2

=

3

．
∴sinθ=

2

3

=

6

3

，又θ∈[0 ，

π

2

]，
∴θ=arcsin

6

3

．
CF与平面EFD₁所成角的大小为arcsin

6

3

．

点评：本题是中档题，考查直线与直线垂直的证明，直线与平面所成的角的求法，考查空间想象能力，定理的灵活运用．