题目内容

已知函数f（x）=x2-2ax+a（a∈R）
（1）当a=2时，求函数f（x）在区间[0，2]上的值域；
（2）若方程f（x）=0的两根x1，x2满足0＜x1＜1＜x2＜2，求实数a的取值范围．
分析：（1）当a=2时，函数f（x）=（x-2）2-2，根据函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，求出它的值域．
（2）由题意可得
f(0)＞0
f(1)＜0
f(2)＞0
，解此不等式组，求出实数a的取值范围．
解答：解：（1）当a=2时，函数f（x）=x2-4x+2=（x-2）2-2，显然函数f（x）在区间[0，2]上单调递减．
故当x=2时，函数f（x）的值最小为-2，当x=0时，函数f（x）的值最大为 2，
故函数f（x）在区间[0，2]上的值域为[-2，2]．
（2）若方程f（x）=0的两根x1，x2满足0＜x1＜1＜x2＜2，故有
f(0)＞0
f(1)＜0
f(2)＞0
，
即
a＞0
1-2a+a＜0
4-4a+a＞0
，解得 1＜a＜
4
3
．
即实数a的取值范围是（1，
4
3
）．
点评：本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，二次函数在闭区间上的最值得求法，属于中档题．
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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