Question

已知数列{a_n}中，a1=1，anan+1=(

1

2

)n，(n∈N×)．
（1）求证：数列{a_2n-1}与{a_2n}（n∈N^*）均为等比数列；
（2）求数列{a_n}的前2n项和T_2n；
（3）若数列{a_n}的前2n项和为T_2n，不等式3（1-ka_2n）≥64T_2n•a_2n对n∈N^×恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意知数列a₁，a₃，…，a_2n-1，…是以1为首项，

1

2

为公比的等比数列；数列a₂，a₄，…，a_2n，…是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列；
（2）利用等比数列的求和公式得到即可；
（3）不等式3（1-ka_2n）≥64T_2n•a_2n对n∈N^×恒成立等价于64T_2n•a_2n≤3（1-ka_2n）?64[3-3•(

1

2

)n](

1

2

)n≤3-3k(

1

2

)n?2ⁿ+

64

2n

≥64+k.2n+

64

2n

≥16当且仅当n=3时取等号，所以64+k≤16，即k≤-48求出k的最大值即可．

解答：解：（1）∵anan+1=(

1

2

)n
∴

an+2

an

 =

1

2

∴数列a₁，a₃，…，a_2n-1，…是以1为首项，

1

2

为公比的等比数列；
数列a₂，a₄，…，a_2n，…是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列．
（2）T_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）=

1-( 1 2 ) n

1- 1 2

+

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=3-3•(

1

2

)n
（3）64T_2n•a_2n≤3（1-ka_2n）?64[3-3•(

1

2

)n](

1

2

)n≤3-3k(

1

2

)n?2ⁿ+

64

2n

≥64+k
2n+

64

2n

≥16当且仅当n=3时取等号，
所以64+k≤16，即k≤-48
∴k的最大值为-48

点评：考查学生对等比关系的确定能力，求等比数列前n项的能力．