题目内容
已知四棱锥P—ABCD(如图),底面是边长为2的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,M、N分别为AD、BC的中点,MQ⊥PD于Q.
(1)求证:平面PMN⊥平面PAD;
(2)直线PC与平面PBA所成角的正弦值为
,求PA的长,
(3)求二面角P-MN-Q的平面角的余弦值.
(1)证明:
∵PA⊥底面ABCD,MN底面ABCD,
∴MN⊥PA.
又MN⊥AD,PA∩AD=A,
∴MN⊥平面PAD.∵MN?平面PMN,
∴平面PMN⊥平面PAD.
(2)解:∵BC⊥BA,BC⊥PA,PA∩BA=A,
∴BC⊥平面PBA.
∴∠BPC为直线PC与平面PBA所成的角,即sin∠BPC=
.
在Rt△PBC中,PC=,
∴
.
(3)解:由(1),MN⊥平面PAD知PM⊥MN,MQ⊥MN,
∴∠PMQ即为二面角PMNQ的平面角.
而
,
,
∴cos∠PMQ=
.
练习册系列答案
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如图，已知四棱锥P--ABC的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e为PC的中点，F为AD的中点．
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