Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N^*）．
（1）求S₁，S₂，S₃，S₄的值；
（2）猜想S_n的表达式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题设条件知S₁=a₁=1，S₂=4a₂=，S₃=9a₃=，S₄=16a₄=．
（2）猜想：，再用数学归纳法对这个猜想加以证明．
解答：解：（1）S₁=a₁=1
由题意知，S₂=4a₂，即a₁+a₂=4a₂
得
同理得，S₃=9a₃，即S₂+a₃=9a₃
得S₄=16a₄，即S₃+a₄=16a₄
得（4分）
（2）猜想：（7分）
证明：①当，与已知相符，故结论成立（8分）
②假设当n=k时，结论成立，即（9分）
由已知有S_k+1=（k+1）²a_k+1=（k+1）²（S_k+1-S_k）．
整理得∴（11分）
即当n=k+1时，结论也成立
综上①②知，对（12分）
点评：本题考查数列的性质和应用，第（1）问要注意递推公式的灵活运用，第二问要注意数学归纳法的证明技巧．