Question

如图，BC是过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F且垂直于对称轴的一条弦，以BC为下底在左侧截取一个等腰梯形ABCD（|AD|＜|BC|），则所截等腰梯形面积的最大值为

 

．

Answer 1

分析：设D点坐标为（x，y）（x＞0），由点D在椭圆上知 x2+

y2

4

=1（y≥0），得y²=4（1-x²），用x，y表示出等腰梯形ABCD的面积为 S=

1

2

(|AD|+|BC|)|y|=

1

2

(2x+2)•y=(x+1)•y，将y²=4（1-x²）代入得S²=（x+1）²•y²=（x+1）²•4（1-x²）=4（-x⁴-2x³+2x+1），利用导数求此函数的最值

解答：解：设D点坐标为（x，y）（x＞0），由点D在椭圆上知 x2+

y2

4

=1（y≥0），
得y²=4（1-x²）
∴等腰梯形ABCD的面积为 S=

1

2

(|AD|+|BC|)|y|=

1

2

(2x+2)•y=(x+1)•y（2分）
∴S²=（x+1）²•y²=（x+1）²•4（1-x²）=4（-x⁴-2x³+2x+1）
=-4x⁴-8x³+8x+4（0＜x＜1）
（S²）'=4（-4x³-6x²+2），
令（S²）'=0，
得2x³+3x²-1=0，即（x+1）²（2x-1）=0，
∵0＜x＜1，∴x=

1

2

，（6分）
又当 0＜x＜

1

2

时，（S²）'＞0；当

1

2

＜x＜1时，（S²）'＜0，
∴在区间（0，1）上，S²有唯一的极大值点 x=

1

2

，（8分）
∴当 x=

1

2

时，S²有最大值为

27

4

；
即当 x=

1

2

时，S有最大值为

3 3

2

．       （10分）
因此只需分别作OC，OB的中垂线与上半椭圆交于D，A，这样的等腰梯形的面积最大．（12分）

点评：本题考查抛物线的应用，解题的关键是根据抛物线的方程消元，将面积表示成x的函数，再利用导数研究此函数的最值，此题运算量很大，解题时极易因运算出错，做题时要严谨认真．