Question

如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形， AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2 DE＝2．

(Ⅰ) 求异面直线EF与BC所成角的大小；

(Ⅱ) 若二面角A－BF－D的平面角的余弦值为，求AB的长．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 30°(Ⅱ)

【解析】

试题分析： (Ⅰ) 延长AD，FE交于Q．

因为ABCD是矩形，所以

BC∥AD，

所以∠AQF是异面直线EF与BC所成的角．

在梯形ADEF中，因为DE∥AF，AF⊥FE，AF＝2，DE＝1得

∠AQF＝30°．即异面直线EF与BC所成角的大小为30°.                   7分

(Ⅱ) 方法一：

设AB＝x．取AF的中点G．由题意得DG⊥AF．

因为平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，所以AB⊥平面ADEF，

所以AB⊥DG．所以DG⊥平面ABF．

过G作GH⊥BF，垂足为H，连结DH，则DH⊥BF，

所以∠DHG为二面角A－BF－D的平面角．

在直角△AGD中，AD＝2，AG＝1，得DG＝．

在直角△BAF中，由＝sin∠AFB＝，得＝，

所以GH＝．

在直角△DGH中，DG＝，GH＝，得DH＝．

因为cos∠DHG＝＝，得x＝，

所以AB＝．                            15分

方法二：设AB＝x．

以F为原点，AF，FQ所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系Fxyz．则

F(0，0，0)，A(－2，0，0)，E(，0，0)，D(－1，，0)，B(－2，0，x)，

所以＝(1，－，0)，＝(2，0，－x)．

因为EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取＝(0，1，0)．

设＝(x₁，y₁，z₁)为平面BFD的法向量，则

所以，可取＝(，1，)．

因为cos<，>＝＝，得x＝，

所以AB＝．                         15分

考点：本题主要考查空间点、线、面位置关系，异面直线所成角、二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。

点评：如何用传统的方法求解此类问题，要紧扣相应的判定定理和性质定理，还要注意各类角的取值范围；如果用空间向量求解，思路比较简单，但是运算比较复杂，要仔细运算.