题目内容

数列{a_n}满足a₁=3， $数学公式$ ，
（1）计算a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式a_n；
（2）用数学归纳法证明（1）的猜想．

解：（1）∵a₁=3= $\text{[math]}$ ，a_n+1=4- $\text{[math]}$ ，
∴a₂=4- $\text{[math]}$ =4- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
a₃=4- $\text{[math]}$ =4（1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
a₄=4（1- $\text{[math]}$ ）=4（1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
由此猜想通项公式a_n= $\text{[math]}$ ；
（2）下面用数学归纳法证明a_n= $\text{[math]}$ ．
证明：1°当n=1时，a₁= $\text{[math]}$ =3，等式成立；
2°假设n=k时，a_k= $\text{[math]}$ ，
则n=k+1时，
a_k+1=4- $\text{[math]}$
=4（1- $\text{[math]}$ ）
=4（1- $\text{[math]}$ ）
=4× $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，即n=k+1时等式也成立．
综合1°，2°知，对任意正整数n，a_n= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由递推关系a₁=3，a_n+1=4- $\text{[math]}$ 计算可得a₂，a₃，a₄，由此可猜想通项公式a_n；
（2）利用数学归纳法证明即可．
点评：本题考查数学归纳法，考查归纳推理与证明，猜想出a_n= $\text{[math]}$ 是关键，属于中档题．