Question

已知函数f（x）=2^x，x∈R．

（1）若存在x∈[﹣1，1]，使得成立，求实数a的取值范围；

（2）解关于x的不等式f（2x）+（a﹣1）f（x）＞a；

（3）若f（x₁）+f（x₂）=f（x₁）f（x₂），f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）=f（x₁）f（x₂）f（x₃），求x₃的最大值．

Answer 1

考点：

其他不等式的解法；基本不等式．

专题：

不等式的解法及应用．

分析：

（1）由于存在 x∈[﹣1，1]，令，可得a＞﹣t²+2t．再根据函数y=﹣t²+2t的最小值为0，求得a的范围．

（2）不等式即 2^2x+（a﹣1）x＞a．令t=2^x∈（0，+∞），不等式即（t﹣1）（t+a）＞0．结合t的范围，分a=﹣1、a＜﹣1、a＞﹣1三种情况，分别求得x的范围．

（3）令，则a+b=ab，a+b+c=abc，利用基本不等式求得ab的范围，可得c的范围，从而求得x₃的最大值．

解答：

解：（1）∵存在 x∈[﹣1，1]，令，即成立． （1分）

∴a＞﹣t²+2t．由于函数y=﹣t²+2t的最小值为0，此时，t=2，（4分）

∴a＞0，即实数a的取值范围为（0，+∞）．（5分）

（2）不等式f（2x）+（a﹣1）f（x）＞a，即 2^2x+（a﹣1）x＞a．

令t=2^x∈（0，+∞），不等式即（t﹣1）（t+a）＞0．（6分）

①当﹣a=1，即a=﹣1，可得t＞0且t≠1，∴x≠0．（7分）

②当﹣a＞1，即a＜﹣1，可得t＞﹣a，或0＜t＜1，∴x＞log₂（﹣a），或x＜0．（8分）

③当﹣a＜1，即 a＞﹣1，可得t＜﹣a，或t＞1．

若﹣a≤0，即a≥0，由不等式可得t＞1，∴x＞0．（9分）

若0＜﹣a＜1，即﹣1＜a＜0，由不等式可得0＜t＜﹣a，或t＞1，

∴x＜log₂（﹣a），或x＞0．（10分）

综上，当a=﹣1时，不等式的解集为{x|x≠0}；

当a＜﹣1时，不等式的解集为{x|x＞log₂（﹣a），或x＜0  }；

当 a≥0时，不等式的解集为{x|x＞0}；

当﹣1＜a＜0时，不等式的解集为{x|x＜log₂（﹣a），或x＞0}．（11分）

（3）令，则a+b=ab，a+b+c=abc，（a，b，c＞0）．

由．（13分）

（15分）

∴，故x₃的最大值为．（16分）

点评：

本题主要考查一元二次不等式、对数不等式的解法，不等式的性质以及基本不等式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．