Question

在一天内甲、乙、丙三台设备是否需要维护相互之间没有影响，且甲、乙、丙在一天内不需要维护的概率依次为0.9、0.8、0.85．则在一天内
（I）三台设备都需要维护的概率是多少？
（II）恰有一台设备需要维护的概率是多少？
（III）至少有一台设备需要维护的概率是多少？

Answer 1

分析：记甲、乙、丙三台设备在一天内不需要维护的事件分别为A，B，C，
（1）三台设备都需要维护即A、B、C三个事件都不发生，由独立事件同时发生的概率公式，计算可得答案；
（2）恰有一台设备需要维护，即A、B、C三个事件有且只有一个不发生，分为三种情况，由互斥事件的概率加法公式，计算可得答案；
（3）“三台设备都不需要维护”与“至少有一台设备需要维护”为对立事件，先求出“三台设备都不需要维护”即ABC同时发生的概率，进而可得答案．

解答：解：记甲、乙、丙三台设备在一天内不需要维护的事件分别为A，B，C，
则P（A）=0.9，P（B）=0.8，P（C）=0.85．
（I）解：三台设备都需要维护的概率
p1=P(

.

ABC

)=P(

.

A

)•P(

.

B

)•P(

.

C

)
=（1-0.9）×（1-0.8）×（1-0.85）=0.003．
答：三台设备都需要维护的概率为0.003．
（II）解：恰有一台设备需要维护的概率
p2=P(

.

A

•B•C)+P(A•

.

B

•C)+P(A•B•

.

C

)
=（1-0.9）×0.8×0.85+0.9×（1-0.8）×0.85+0.9×0.8×（1-0.85）
=0.329．
答：恰有一台设备需要维护的概率为0.329．
（III）解：三台设备都不需要维护的概率
p₃=P（ABC）=P（A）•P（B）•P（C）=0.612，
所以至少有一台设备需要维护的概率p₄=1-p₃=0.388．
答：至少有一台设备需要维护的概率为0.388．

点评：本题考查相互对立事件、独立事件、对立的概率的计算，概率问题经常涉及多种关系的事件组合，解题时要分清事件之间的关系．