Question

12．关于x的方程x²+y²+2mx-my+3m-1=0
（1）若此方程表示圆，求实数m的范围．
（2）若直线y=-x+2与（1）中的圆有两个交点A、B，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=6，其中O为坐标原点，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）关于x的方程即（x+m）²+（y-$\frac{m}{2}$）² =$\frac{5}{4}$m²-3m+1，此方程表示圆时，应有$\frac{5}{4}$m²-3m+1＞0，由此求得m的范围．
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），把直线y=-x+2代入方程x²+y²+2mx-my+3m-1=0，利用韦达定理求得 x₁+x₂ 和x₁•x₂，再利用两个向量的数量积公式，并结合$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=6，求得m的值．

解答 解：（1）∵关于x的方程x²+y²+2mx-my+3m-1=0，即（x+m）²+（y-$\frac{m}{2}$）² =$\frac{5}{4}$m²-3m+1，
此方程表示圆时，应有 $\frac{5}{4}$m²-3m+1＞0，求得m＜$\frac{2}{5}$ 或m＞2．
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），把直线y=-x+2代入方程x²+y²+2mx-my+3m-1=0可得
2x²+（3m-4）x+m+3=0，∴x₁+x₂=$\frac{4-3m}{2}$，x₁•x₂=$\frac{m+3}{2}$．
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=x₁•x₂+（2-x₁）（2-x₂）=2x₁•x₂-2（x₁+x₂ ）+4=2•$\frac{m+3}{2}$-2•$\frac{4-3m}{2}$+4=6，
∴m=$\frac{3}{4}$．
经检验，m=$\frac{3}{4}$时，方程 2x²+（3m-4）x+m+3=0的判别式△=（3m-4）²-8（m+3）＜0，
故m不存在．

点评 本题主要考查圆的一般方程，韦达定理，两个向量的数量积公式，属于中档题．