Question

已知圆C：（x-2）²+（y-3）²=4，直线l：（m+2）x+（2m+1）y=7m+8，
（1）求证：直线l与圆C恒相交；
（2）当m=1时，过圆C上点（0，3）作圆的切线l₁交直线l于P点，Q为圆C上的动点，求|PQ|的取值范围．

Answer 1

分析：通过求解直线系的两条直线的交点，判断点与圆的位置关系，即可得到结论．求出切线方程，然后求出P的坐标，通过圆心与P的距离，求出|PQ|的取值范围．

解答：解：（1）证明：由l得方程m（x+2y-7）+2x+y-8=0，
故l恒过两直线x+2y-7=0以及2x+y-8=0的交点P（3，2），
因为（3-2）²+（2-3）²=2＜4，即点P在圆的内部，
所以直线与圆相交．
（2）由题知过圆C上点（0，3）作圆的切线l₁：x=0，
m=1时，l：x+y=5
所以

x=0 x+y=5

⇒P（0，5），而|PC|=2

2

，
所以|PQ|∈[2

2

-2，2

2

+2]

点评：本题考查直线系方程与圆的位置关系，两点间距离公式的应用，考查计算能力．