Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的右焦点F₂向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若

QF2

=2

F2P

，则双曲线的离心率为（　　）

• A、2
• B、

  3

• C、

  4

  3

• D、

  2 3

  3

Answer 1

分析：利用相互垂直的直线的斜率之间的关系可得直线PF₂的斜率，即可得到直线方程，直线方程分别与渐近线方程联立即可得出点P，Q的坐标，再利用向量共线即可得出a，b，c的关系，利用离心率计算公式即可．

解答：解：如图所示，∵PF₂⊥OP，∴PF₂的斜率为

a

b

．
∴直线PF₂的直线方程为y=-

a

b

（x-c）．
联立

y=- a b (x-c) y= b a x

⇒

x= a2 c y= ab c

，
∴P（

a2

c

，

ab

c

），
联立

y=- a b (x-c) y=- b a x

⇒

x= a2c a2-b2 y= abc b2-a2

，
∴Q（

a2c

a2-b2

，

abc

b2-a2

），
∴

QF2

=（

-b2c

a2-b2

，

abc

b2-a2

）；

F2P

=（-

b2

c

，-

ab

c

），
∵

QF2

=2

F2P

，
∴3c²=4a²，
∴e=

2 3

3

．
故选D．

点评：本题考查了双曲线的标准方程及简单性质，考查了向量的坐标运算，计算量较大，要细心．