题目内容

已知函数 $数学公式$ （a∈R）．
（1）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对于任意x∈[1，+∞）都有f'（x）＜2（a-1）成立，求实数a的取值范围；
（3）若过点 $数学公式$ 可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．

解：（1）当a=3时， $\text{[math]}$ ，得f'（x）=-x²+3x-2．…（1分）
因为f'（x）=-x²+3x-2=-（x-1）（x-2），
所以当1＜x＜2时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x＜1或x＞2时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减．
所以函数f（x）的单调递增区间为（1，2），单调递减区间为（-∞，1）和（2，+∞）．…（3分）
（2）方法1：由 $\text{[math]}$ ，得f'（x）=-x²+ax-2，
因为对于任意x∈[1，+∞）都有f'（x）＜2（a-1）成立，
即对于任意x∈[1，+∞）都有-x²+ax-2＜2（a-1）成立，
即对于任意x∈[1，+∞）都有x²-ax+2a＞0成立，…（4分）
令h（x）=x²-ax+2a，
要使对任意x∈[1，+∞）都有h（x）＞0成立，
必须满足△＜0或 $\text{[math]}$ …（5分）
即a²-8a＜0或 $\text{[math]}$ …（6分）
所以实数a的取值范围为（-1，8）．…（7分）
方法2：由 $\text{[math]}$ ，得f'（x）=-x²+ax-2，
因为对于任意x∈[1，+∞）都有f'（x）＜2（a-1）成立，
所以问题转化为，对于任意x∈[1，+∞）都有[f'（x）]_max＜2（a-1）．…（4分）
因为 $\text{[math]}$ ，其图象开口向下，对称轴为 $\text{[math]}$ ．
①当 $\text{[math]}$ 时，即a＜2时，f'（x）在[1，+∞）上单调递减，
所以f'（x）_max=f'（1）=a-3，
由a-3＜2（a-1），得a＞-1，此时-1＜a＜2．…（5分）
②当 $\text{[math]}$ 时，即a≥2时，f'（x）在 $\text{[math]}$ 上单调递增，在 $\text{[math]}$ 上单调递减，
所以 $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ ，得0＜a＜8，此时2≤a＜8．…Ks5u…（6分）
综上①②可得，实数a的取值范围为（-1，8）．…（7分）
（3）设点 $\text{[math]}$ 是函数y=f（x）图象上的切点，
则过点P的切线的斜率为k=f'（t）=-t²+at-2，…（8分）
所以过点P的切线方程为 $\text{[math]}$ ．…（9分）
因为点 $\text{[math]}$ 在切线上，
所以 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ．…（10分）
若过点 $\text{[math]}$ 可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，
则方程 $\text{[math]}$ 有三个不同的实数解．…（11分）
令 $\text{[math]}$ ，则函数y=g（t）与t轴有三个不同的交点．
令g'（t）=2t²-at=0，解得t=0或 $\text{[math]}$ ．…（12分）
因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以必须 $\text{[math]}$ ，即a＞2．…Ks5u…（13分）
所以实数a的取值范围为（2，+∞）．…（14分）
分析：（1）先求当a=3时函数的导数f′（x），并将其因式分解，便于解不等式，再由f′（x）＞0，得函数的单调增区间，由f′（x）＜0，得函数的单调减区间；
（2）方法1：由 $\text{[math]}$ ，得f'（x）=-x²+ax-2，原问题转化为：对于任意x∈[1，+∞）都有x²-ax+2a＞0成立，令h（x）=x²-ax+2a，结合二次函数的性质得到关于a的不等关系，从而求出实数a的取值范围；
方法2：由 $\text{[math]}$ ，得f'（x）=-x²+ax-2，问题转化为，对于任意x∈[1，+∞）都有[f'（x）]_max＜2（a-1）．下面利用导数工具研究其单调性和最大值，即可得出实数a的取值范围；
（3）先将过点 $\text{[math]}$ 可作曲线y=f（x）的三条切线转化为：方程 $\text{[math]}$ 有三个不同的实数解，下面利用导数研究函数g（x）的零点，从而求得a的范围．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．