Question

设函数f（x）=ln（1+x）-ax，x∈（0，+∞）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求证：ln(1+n)＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

(n∈N+)；
（3）若|m|≥2，试比较：ln(1+

1

1×2

)+ln(1+

1

2×3

)+…+ln[1+

1

n×(n+1)

]+

1

n+1

（n∈N₊）与m²-3大小关系．

Answer 1

分析：（1）利用导数求函数的单调性，由于参数a的变化对单调性有影响，故要进行分类讨论；（2）利用（1）问的结论，利用叠加的思想可证得；（3）问则在（2）的基础上，进行叠加即可证得．

解答：解：（1）f/(x)=

1

1+x

-a，
①若a≥1，f′（x）＜0恒成立，故函数在（0，+∞）上递减；
②若0＜a＜1，令f′（x）＞0，则函数在(0，

1-a

a

)上递增，在(

1-a

a

，+∞ )上递减；
（2）证明：由（1）知，当时，函数f（x）=ln（1+x）-x在（0，+∞）上递减，即f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x，所以ln（1+

1

n

）＜

1

n

，所以ln(n+1)-lnn＜

1

n

，当n=1，2，n时，叠加得：ln(1+n)＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

(n∈N+)；
（3）由（2）知ln(1+

1

1×2

)＜

1

1×2

=1-

1

2

，ln(1+

1

2×3

)＜

1

2

-

1

3

，ln(1+

1

n(n+1)

)＜

1

n

-

1

n+1

叠加得ln(1+

1

1×2

)+ln(1+

1

n(n+1)

)+

1

n+1

＜1
故由题意|m|≥2，m²-3＞1，
所以ln(1+

1

1×2

)+ln(1+

1

2×3

)+…+ln[1+

1

n×(n+1)

]+

1

n+1

＜m²-3．

点评：本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，解题的关键是利用导数研究出函数的单调性，判断出函数的最值，本题第二小题是一个恒成立的问题，恒成立的问题一般转化最值问题来求解，本题即转化为用单调性求函数在闭区间上的最值的问题，求出最值再判断出参数的取值．本题运算量过大，解题时要认真严谨，避免变形运算失误，导致解题失败．