Question

已知{a_n}为等比数列，a₁=1，前n项和为S_n，且，数列{b_n}的前n项和为T_n，且点（n，T_n）均在抛物线上．
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n，求{c_n}的前n项和S′_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）设等比数列的公比为q，则由可知q≠1，利用等比数列的求和公式可得q=3，从而可求{a_n}的通项公式；
根据数列{b_n}的前n项和为T_n，且点（n，T_n）均在抛物线上，可得，当n≥2时，利用b_n=T_n-T_n-1，即可求出{b_n}的通项公式；
（2）根据c_n=a_n•b_n=n•3^n-1，可知S'_n=1•3+2•3¹+3•3²+…+n•3^n-1，利用错位相减法，可求{c_n}的前n项和S′_n．
解答：解：（1）设等比数列的公比为q，则由可知q≠1
∵，∴，∴q=3
∵a₁=1，∴
∵数列{b_n}的前n项和为T_n，且点（n，T_n）均在抛物线上
∴
当n≥2时，=n
∵b₁=T₁=1
∴b_n=n
（2）∵c_n=a_n•b_n=n•3^n-1，∴S'_n=1•3+2•3¹+3•3²+…+n•3^n-1，
∴3S'_n=1•3¹+2•3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，
两式相减，得-2S'_n=1•3+1•3¹+1•3²+…+1•3^n-1-n•3ⁿ=-n•3ⁿ=-n•3ⁿ=，
得  S'_n=．
点评：本题考查数列的通项与前n项和，考查等差数列与等比数列，考查错位相减法，掌握基本方法是关键．