Question

1．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且?x∈（0，+∞）都有f（f（x）-log₃x）=4，若y=f（ae^x-x+2a²-3）-2的值域是R，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，e]
• B． （-∞，1]
• C． [0，e]
• D． [0，1]

Answer 1

分析 设f（x）-log₃x=t，根据条件求出函数f（x）的表达式，结合y=f（ae^x-x+2a²-3）-2的值域是R得到y=f（ae^x-x+2a²-3）-2的值域是R，设g（x）=ae^x-x+2a²-3，则要求g（x）_min≤0即可．利用导数研究g（x）的单调性，最值情况，进行作答．要注意对a进行分类讨论．

解答 解：设f（x）-log₃x=t，
则f（x）=log₃x+t，且f（t）=4，
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
∴t是常数，
则f（t）=log₃t+t=4，
解得t=3，
即f（x）=log₃x+3，
则y=f（ae^x-x+2a²-3）-2=log₃（ae^x-x+2a²-3）+3-2=log₃（ae^x-x+2a²-3）+1，
∵y=f（ae^x-x+2a²-3）-2的值域是R，
∴ae^x-x+2a²-3能取变所有的正数，
设g（x）=ae^x-x+2a²-3，即（0，+∞）⊆{y|y=g（x）}
则g′（x）=ae^x-1．
①当a≤0时，g′（x）＜0在R上恒成立，g（x）在R上是减函数，
x→+∞时，g（x）→-∞，x→-∞时，g（x）→+∞，
此时g（x）值域为R．符合要求．
②当a＞0时，由g′（x）=0得x=-lna．
由g′（x）＜0得x＜-lna，g（x）在（-∞，-lna）上单调递减．
由g′（x）＞0得x＞-lna，g（x）在（-lna，+∞）上单调递增．
∴g（x）_min=g（-lna）=2a²+lna-2．
下面研究g（x）最小值：
令h（a）=2a²+lna-2，则h′（a）=4a+$\frac{1}{a}$＞0（a＞0），h（a）在（0，+∞）上单调递增．
可知当a＞1时，g（x）_min＞0，当a=1时，g（x）_min=0，当a＜1时，g（x）_min＜0，
而x→+∞时，g（x）→+∞．所以0＜a≤1．
综上所述，实数a的取值范围是a≤0或0＜a≤1，即a∈（-∞，1]．
故选：B．

点评 本题考查与对数有关的复合函数的性质，值域求解．利用待定系数法先求出函数f（x）的解析式是解决本题的关键，考查分类讨论，运算求解能力．题目难度大，逻辑思维性强．