Question

如图一简单几何体的一个面ABC内接于圆O，G，H分别是AE，BC的中点，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC．
（1）求证：GH∥平面ACD；
（2）证明：平面ADE⊥平面ACD；
（3）若AB=2，BC=1，tan∠EAB=

3

2

，试求该几何体的体积V．

Answer 1

分析：（1）取AD的中点F，易证四边形CHGF为平行四边形，由线面平行的判断可得；（2）由DC⊥平面ABC，可得DC⊥BC，由直径所对的圆周角为直角可得BC⊥AC，易证DE⊥平面ACD，进而可得结论；（3）把几何体化为两个三棱锥来求即可的答案．

解答：证明：（1）取AD的中点F，连接GF，CF，在三角形ADE中，GF为中位线，
可得GF∥AD，且GF=

1

2

AD，故GF∥CH，且GF=CH，四边形CHGF为平行四边形，
故GH∥CF，由CF，GH分别在平面ACD内外，
故GH∥平面ACD；
（2）∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥BC，由直径所对的圆周角为直角可得BC⊥AC，
由CD∩AC=C，故BC⊥平面ACD，即DE⊥平面ACD，又DE?平面ADE，
所以平面ADE⊥平面ACD；
（3）由题意可得：AC=

22-12

=

3

，tan∠EAB=

EB

AB

=

3

2

，EB=

3

，
V=V_E-ACD+V_E-ABC=

1

3

×S_△ACD×DE+

1

3

S_△ABC×EB
=

1

3

×

1

2

×

3

×

3

×1+

1

3

×

1

2

×

3

×1×

3

=1

点评：本题为线面位置关系的综合应用，涉及线面平行，面面垂直和体积公式，属中档题．