Question

已知点P是⊙O：x²+y²=9上的任意一点，过P作PD垂直于x轴于D，动点Q满足，
(1)求动点Q的轨迹方程；
(2)已知点E(1，1)，在动点Q的轨迹上是否存在不重合的两点M，N，使(O是坐标原点)？若存在，求出直线MN的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(1)设P(x₀，y₀)，Q(x，y)，依题意，得点D的坐标为D(x₀，0)，
所以，
又，
所以，即，
因为P在⊙O上，故，
所以，
所以Q点的轨迹方程为。
(2)假设椭圆上存在不重合的两点M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)满足，
则E(1，1)是线段MN的中点，且有，即，
又M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)在椭圆上，
所以，
两式相减，得，
所以，
则直线MN的方程为4x+9y-13=0，
所以动点Q的轨迹上存在点M，N满足，
此时直线MN的方程为4x+9y-13=0．