题目内容

若 $数学公式$ （a≠1），在定义域（-∞，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：当函数单调性是增函数时，相应二次函数图象为开口向上的抛物线且指数型函数的系数大于0，并且在x=0时，二次函数对应的值大于或等于指数型函数对应的值．由此建立关于a的方程组并解之，即可得到实数a的范围，同样的方法可得函数的单调性是减函数时实数a的取值范围，最后综合可得本题的答案．
解答：f（x）在定义域（-∞，+∞）上是单调函数时，
①函数的单调性是增函数时，可得当x=0时，（a²-1）e^ax≤ax²+1=1，
即a²-1≤1，解之得- $\text{[math]}$ ≤a≤ $\text{[math]}$
∵x≥0时，y=ax²+1是增函数，∴a＞0
又∵x＜0时，（a²-1）e^ax是增函数，∴a²-1＞0，得a＜-1或a＞1
因此，实数a的取值范围是：1＜a＜ $\text{[math]}$
②函数的单调性是减函数时，可得当x=0时，（a²-1）e^ax≥ax²+1=1，
即a²-1≤1，解之得a≤- $\text{[math]}$ 或a≥ $\text{[math]}$ ．
∵x≥0时，y=ax²+1是减函数，∴a＜0
又∵x＜0时，（a²-1）e^ax是增函数，∴a²-1＞0，得a＜-1或a＞1
因此，实数a的取值范围是：a＜- $\text{[math]}$
综上所述，得a∈ $\text{[math]}$
故选：C
点评：本题以分段函数为例，求函数为单调函数时参数a的范围，着重考查了二次函数、指数函数等基本初等函数的单调性及单调区间等知识，属于中档题．