Question

如图，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，D是AC的中点，∠C₁DC=60°．
（Ⅰ）求证：AB₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）求二面角D-BC₁-C的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）以AC的中点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=1，证明，利用线面平行的判定定理，即可得到结论；
（II）确定平面BC₁D的一个法向量、平面BCC₁B₁的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角D-BC₁-C的大小．
解答：解：（Ⅰ）以AC的中点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=1．
∵∠C₁DC=60°，∴CC₁=
则A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，0，0），A₁（1，0，），
B₁（0，，），C₁（-1，0，）
连结B₁C交BC₁于O，则O是B₁C的中点，连结DO，则
∴，
∴．
∵AB₁?平面BC₁D，DO?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D．…（5分）
（Ⅱ）．
设平面BC₁D的一个法向量为=（x，y，z），则
即，则有y=0
令z=1，则=（，0，1），设平面BCC₁B₁的一个法向量是为=（x'，y'，z'），，则
即，∴z′=0．
令y'=-1，则=（，-1，0）
∴
∴二面角D-BC₁-C的大小为．…（12分）
点评：本题考查线面平行，考查二面角的平面角，考查向量知识的运用，确定平面的法向量 是关键．