Question

如图，已知四棱锥A-BCDE，其中AB=CD=2BE=2

2

，AC=BC=2，CD⊥平面ABC，BE∥CD，F为DA的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC
（2）求直线BD与平面AED的夹角θ的正弦值．

Answer 1

分析：（1）要证线面平行，可在平面内找到一条与已知直线平行的线，由题目给出的F为AD的中点，可联想取AC中点G，连结BG后利用三角形的中位线和已知条件求证；
（2）由题意证出CB、BA、CD两两垂直，建系后借助于空间向量求解线面角的正弦值．

解答：（1）证明：取AC中点G，连结FG，BG．
∵F为AD的中点，∴FG∥CD，FG=

1

2

CD．
又BE∥CD，BE=

1

2

CD，
∴四边形BGFE为平行四边形，∴EF∥BG．
EF?面ABC，BG?面ABC，∴EF∥平面ABC．
（2）解：∵AC=BC=2，AB=2

2

，AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC．
又CD⊥面ABC，∴CD⊥BC，CD⊥AC．
以C为坐标原点，以CB、CA、CD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
则B（2，0，0），D（0，0，2

2

），A（0，2，0），E（2，0，

2

）．
∴

BD

=(-2，0，2

2

)，

AD

=(0，-2，2

2

)，

ED

=(-2，0，

2

)．
设平面AED的一个法向量为

m

=(x，y，z)．
由

m ⊥ AD m ⊥ED

⇒

m • AD =0 m • ED =0

⇒

-2y+2 2 z=0 -2x+ 2 z=0

，
取z=1，得y=

2

，x=

2

2

．
∴

m

=(

2

2

，

2

，1)．
∴直线BD与平面AED的夹角θ的正弦值
sinθ=|

m • BD

| m |•| BD |

|=|

-2× 2 2 +2 2

7 2 •2 3

|=

21

21

．

点评：本题考查了空间中的线面平行的判定，考查了利用空间向量求解线面角，解答的关键是建立正确的空间右手系，是中档题．