Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1处有极值10，求实数a，b的值；并判断f（1）=10是极大值还是极小值．

Answer 1

分析：根据已知中函数f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1处有极值10，我们可得到

f′(1)=0 f(1)=10

，根据函数f（x）=x³+ax²+bx+a²，求出导函数的解析式后，构造关于a，b的方程，解方程即可求出a，b的，根据第一步中a，b的值，我们求出函数的解析式，分析函数在X=1两侧的单调性，即可判断出f（1）=10是极大值还是极小值．

解答：解：∵函数f（x）=x³+ax²+bx+a²
∴f'（x）=3x²+2ax+b，
又∵函数f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1处有极值10，
∴

f′(1)=0 f(1)=10

解得：

a=4 b=-11

或

a=-3 b=3

当a=4，b=-11时，f′(x)=3(x+

11

3

)(x-1)，f（x）在(-∞，-

11

3

)↑，在(-

11

3

，1)↓，在（1，+∞）↑
∴f（x）在x=1处取得极小值f（1）=10；
当a=-3，b=3时，f'（x）=3（x-1）²≥0，f（x）在R上单增，无极值．
∴a=4，b=-11；且f（1）=10是极小值．

点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的极值，其中根据已知条件，构造关于a，b的方程，是解答本题的关键，在解答过程中，解方程组

f′(1)=0 f(1)=10

，可以求出两组满足条件的a，b的值，其中一组可导致f（x）在R上单增，不满足题目要求，要舍去，这是本题解答中的一个易忽略点．