Question

已知各项都不为零的数列{a_n}满足an+1=

an

1+an

，a1=

1

4

，n∈N^*．
（Ⅰ） 求证数列{

1

an

}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 若c₁=1，（n+3）c_n+1=（n+2）c_n，S_n=c₁a₂+c₂a₃+…+c_na_n+1，求S_n的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）、根据题中已知条件可以推导出

1

an+1

-

1

an

=1，即可证明数列{

1

an

}是等差数列，将a1=

1

4

代入等差数列

1

an

中即可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）、根据题中已知条件先求出c_n的表达式，然后求出c_na_n+1的表达式，即可求出S_n的表达式，有Sn的表达式可知当n=1时，S_n的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由an+1=

an

1+an

，
∴

1

an+1

=

1

an

+1，即

1

an+1

-

1

an

=1，（2分）
∴{

1

an

}是首项为

1

a1

，公差为1的等差数列，（3分）
∴

1

an

=

1

a1

+(n-1)×1=4+(n-1)×1=n+3
∴an=

1

n+3

，（4分）
（Ⅱ）∵（n+3）c_n+1=（n+2）c_n，
∴

cn+1

cn

=

n+2

n+3

，
∴cn=

c2

c1

×

c3

c2

×

c4

c3

××

cn

cn-1

×c1
=

3

4

×

4

5

×

5

6

×

n+1

n+2

×1=

3

n+2

，（6分）
∴cnan+1=

3

(n+2)(n+4)

=

3

2

(

1

n+2

-

1

n+4

)，（8分）
∴S_n=c₁a₂+c₂a₃+…+c_na_n+1
=

3

2

[（

1

3

-

1

5

）+（

1

4

-

1

6

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

n+1

-

1

n+3

）+（

1

n+2

-

1

n+4

）]
=

3

2

[(

1

3

+

1

4

-

1

n+3

-

1

n+4

)]
=

7

8

-

3

2

(

1

n+3

+

1

n+4

)，（10分）
∵S_n在（0，+∞）上是增函数，（11分）
∴当n=1时，S_n有最小值为S1=

1

5

．（12分）

点评：本题考查了数列的求和和数列的推导公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．