Question

 

设数列的前项和为，如果为常数，则称数列为“科比数列”．

（Ⅰ）已知等差数列的首项为1，公差不为零，若为“科比数列”，求的通项公式；

（Ⅱ）设数列的各项都是正数，前项和为，若对任意 都成立，试推断数列是否为“科比数列”？并说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （Ⅰ）设等差数列的公差为，，因为，则

，即.       （2分）

整理得，.                                       （3分）

因为对任意正整数上式恒成立，则，解得.            （5分）

故数列的通项公式是.                                           （6分）

（Ⅱ）由已知，当时，.因为，所以.                 （7分）

 当时，，.

两式相减，得.

因为，所以=.                                     （9分）

显然适合上式，所以当时，.

于是.

因为，则，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.

所以不为常数，故数列不是“科比数列”.          （13分）