Question

已知函数f（x）=x³-ax²-bx+a²，x∈R，a，b为常数．
（1）若函数f（x）在x=1处有极值10，求实数a，b的值；
（2）若a=0时，方程f（x）=2在x∈[-4，4]上恰有3个不相等的实数解，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对函数求导，由题意可得，f′（1）=0，f（1）=10，代入可求a，b
（2）（I）由题意f（x）-2=可得0，令g（x）=f（x）-2=x³-bx-2，对函数g（x）求导可得g’（x）=3x²-b，分类讨论：分（ⅰ）若b≤0，（ⅱ）b＞0，两种情况讨论g（x）在[-4，4]上的单调性，结合单调性可求b

解答：解：（1）∵函数f（x）=x³-ax²-bx+a²，
∴f′（x）=3x²-2ax-b，
∵函数f（x）在x=1处有极值10，
∴f（1）=1-a-b+a²=10
f′（1）=3-2a-b=0
解得a=-4，b=11
（2）由f（x）=2，得f（x）-2=0，令g（x）=f（x）-2=x³-bx-2，
则方程g（x）=0在x∈[-4，4]上恰有3个不相等的实数解．
∵g′（x）=3x²-b，
（ⅰ）若b≤0，则g′（x）≥0恒成立，且函数g（x）不为常函数，
∴g（x）在区间[-4，4]上为增函数，不合题意，舍去． 
（ⅱ）若b＞0，则函数g（x）在区间（-∞，-

b 3

）上为增函数，在区间（-

b 3

，

b 3

）上为减函数，在区间（

b 3

，+∞）上为增函数，
由方程g（x）=0在x∈[-4，4]上恰有3个不相等的实数解，
可得

g(-4)≤0 g(- b 3 )＞0 g( b 3 )＜0 g(4)≥0

即

b≤ 33 2 b＞3 b＞0 b≤ 31 2

解得实数b的取值范围为（3，

31

2

]

点评：本题主要考查了利用函数的导数研究函数的单调性，函数的极值与最值的求解及函数的恒成立与函数的最值的相互转化关系的应用．