Question

已知f（x）=sinx+sin（

π

2

-x）．
（1）若α∈[0，π]，且sin2α=

1

3

，求f（α）的值；
（2）若x∈[0，π]，求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

（1）∵α∈[0，π]，∴sinα＞0，
∴f（α）=sinα+cosα，…（1分）
又sin2α=

1

3

=2sinα•cosα＞0，
∴α∈（0，

π

2

），sinα+cosα＞0，…（3分）
由（sinα+cosα）²=1+2sinα•cosα=

4

3

，…（5分）
∴sinα+cosα=

2 3

3

，
∴f （α）=

2 3

3

；…（7分）
（2）由（1）知f （x）=

2

sin（x+

π

4

），
当2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）时，f（x）是单调递增，…（9分）
∴2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

（k∈Z），又0≤x≤π，…（11分）
∴f（x）的单调递增区间为[0，

π

4

]．…（12分）