Question

如图甲，四边形ABCD中，E是BC的中点，DB=2，DC=1，BC=

5

，AB=AD=

2

．将（图甲）沿直线BD折起，使二面角A-BD-C为60°（如图乙）．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BDC；
（Ⅱ）求点B到平面ACD的距离．

Answer 1

分析：（1）取BD中点M，连接AM，ME．先证明AM⊥BD，再证明BD⊥平面AEM，可得BD⊥AE，证明AE⊥ME，即可证明AE⊥平面BDC；
（2）建立空间直角坐标系，求得平面ACD的法向量，利用向量的距离公式，即可求得结论．

解答：（Ⅰ）证明：如图，取BD中点M，连接AM，ME．

∵AB=AD=

2

，∴AM⊥BD，
∵DB=2，DC=1，BC=

5

，∴DB²+DC²=BC²，∴△BCD是以BC为斜边的直角三角形，BD⊥DC，
∵E是BC的中点，∴ME为△BCD的中位线，∴ME∥

1

2

CD，
∴ME⊥BD，ME=

1

2

，…（2分）
∴∠AME是二面角A-BD-C的平面角，∴∠AME=60°．
∵AM⊥BD，ME⊥BD且AM、ME是平面AME内两条相交于点M的直线，∴BD⊥平面AEM，
∵AE?平面AEM，∴BD⊥AE．…（4分）
∵AB=AD=

2

，DB=2，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AM=

1

2

BD=1，
在△AME中，由余弦定理得：AE2=AM2+ME2-2AM•ME•cos∠AME ，  ∴AE=

3

2

，
∴AE²+ME²=1=AM²，∴AE⊥ME，
∵BD∩ME=M，BD?平面BDC，ME?平面BDC，∴AE⊥平面BDC．…（6分）
（Ⅱ）解：如图，以M为原点，MB所在直线为x轴，ME所在直线为y轴，平行于EA的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则由（Ⅰ）及已知条件可知B（1，0，0），E(0 ，  

1

2

 ，  0)，A(0 ，  

1

2

 ，  

3

2

)，D（-1，0，0），C（-1，1，0）
，…（7分）

则

AB

=(1 ，  -

1

2

 ，  -

3

2

) ，  

CD

=(0 ，  -1 ，  0)，

AD

=(-1 ，  -

1

2

 ，  -

3

2

)，
设平面ACD的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • AD =0 ，   n • CD =0

∴

-x- 1 2 y- 3 2 z=0 ，   -y=0 ，

令x=

3

，则z=-2，∴

n

=(

3

 ，  0 ，  -2)，…（10分）
记点B到平面ACD的距离为d，则d=|

AB • n

| n |

|=|

3 +0+ 3

( 3 )2+0+(-2)2

|=

2 21

7

．…（12分）

点评：本题考查直线和平面垂直的证明，考查求点到平面的距离，考查向量知识的运用，属于中档题．