Question

如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E，F分别为棱AC，AD的中点．

（1）求证：DC⊥平面ABC．
（2）设CD=a，求三棱锥A-BFE的体积．

Answer 1

分析：（1）根据△ABD是含有45°的等腰三角形，得到AB⊥BD，利用面面垂直性质定理证出AB⊥平面BDC，从而得到AB⊥CD，结合DC⊥BC且AB∩BC=B，可得DC⊥平面ABC；
（2）由EF是△ACD的中位线，得EF∥CD，结合（1）的结论得到EF⊥平面ABC，所以EF为三棱锥F-AEB的高．利用题中数据算出△AEB的面积，根据锥体体积公式算出三棱锥F-AEB的体积，即可得到三棱锥A-BFE的体积．

解答：解：（1）在图甲中，
∵AB=BD且∠A=45°，∴∠ADB=45°，∠ABD=90°，即AB⊥BD，
在图乙中，
∵平面ABD⊥平面BDC，平面ABD∩平面BDC=BD，∴AB⊥平面BDC，
∵CD?平面BDC，∴AB⊥CD．
又∠DCB=90°即DC⊥BC，且AB∩BC=B，∴DC⊥平面ABC；
（2）∵E、F分别为AC、AD的中点，∴EF∥CD，
又由（1）知，DC⊥平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，得EF为三棱锥F-AEB的高，
∴V_A-BFE=V_F-AEB=S_△AEB•EF．
∵在图甲中，∠ADC=105°，∴∠BDC=60°，∠DBC=30°．
Rt△BCD中，由CD=a得BD=2a，BC=

3

a，EF=

1

2

CD=

1

2

a，
∴S_△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

×2a×

3

a=

3

a²，∴S_△AEB=

1

2

S_△ABC=

3

2

a²，
因此，三棱锥A-BFE的体积V_A-BFE=

1

3

×

3

2

a²×a=

3

6

a³．

点评：本题以一个平面图形的折叠为载体，求证线面垂直并求锥体的体积．着重考查了线面垂直的判定与性质、面面垂直的性质定理和锥体的体积求法等知识，属于中档题．